数学课堂上,徐老师出示一道试题: 如图1所示,在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点,若∠

数学课堂上,徐老师出示一道试题: 如图1所示,在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点,若∠

题型:湖南省中考真题难度:来源:
数学课堂上,徐老师出示一道试题:
如图1所示,在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点,若∠AMN=60°,求证:AM=MN。
(1)经过思考,小明展示了一种正确的证明过程,请你将证明过程补充完整,
证明:在AB上截取EA=MC,连结EM,得△AEM,
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN,∠2=180°-∠AMB-∠B,∠AMN=∠B=60°,
∴∠1=∠2,
又CN平分∠ACP,∠4=∠ACP=60°,
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…………①
又∵BA=BC,EA=MC,
∴BA-EA=BC-MC,即BE=BM,
∴△BEM为等边三角形,
∴∠6=60°,
∴∠5=180°-∠6=120°………②
∴由①②得∠MCN=∠5,
在△AEM和△MCN中,
∵____________________,
∴△AEM≌△MCN (ASA),
∴AM=MN;
(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图2),N1是∠D1C1P1的平分线上一点,则当∠A1M1N1=90°时,结论A1M1=M1N1,是否还成立?(直接写出答案,不需要证明)
(3) 若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”,请你猜想:当∠AnMnNn=_____°时,结论AnMn=MnNn仍然成立?(直接写出答案,不需要证明)
答案
解:(1)∠1=∠2,AE=MC,∠MCN=∠5;
(2)成立;
(3)
举一反三
已知:如图,在△ABC中,D为BC上的一点,AD平分∠EDC,且∠E=∠B,DE=DC。
求证:AB=AC。
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如图,在Rt△ABC中,AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠,使AB落在AC上,点B与AC上的点E重合,展开后,折痕AD交BO 于点F,连结DE、EF,下列结论:①tan∠ADB=2;②图中有4对全等三角形;③若将△DEF沿EF折叠,则点D不一定落在AC上;④BD=BF;⑤S四边形DFOE=S△AOF,上述结论中正确的个数是
[     ]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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如图,点B、F、C、E在同一条直线上,点A、D在直线BE 的两侧,AB∥DE,BF=CE,请添加一个适当的条件:(    ), 使得AC=DF。

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如图,在ABCD中,E、F为对角线BD上的两点,且∠BAE=∠DCF。
求证:BE=DF。
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情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示,将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示,观察图2可知:与BC相等的线段是______,∠CAC′=______°。
问题探究
如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q,试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.,
拓展延伸
如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H,若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由。

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