解:证一(截长法):如图所示,过点D作DE⊥AB于E
∵AD是∠BAC的平分线,∠DCA=90° ∴DE=DC 又∵AD=AD ∴△ADE≌△ACD(HL) ∴AE=AC,CD=DE ∵∠DCA=90°,AC=BC ∴∠B=45° 在△DEB中,∵∠B=45°,∠DEB=90° ∴△EBD是等腰直角三角形 ∴DE=EB ∴CD=EB ∴AC+CD=AE+EB,即AC+CD=AB; 证法二(补短法):如图所示,在AC的延长线上截取CM=CD,连结DM
在△MCD中,∠MCD=90°,CD=CM ∴△MCD是等腰直角三角形 ∴∠M=45° 又∵在等腰直角三角形中,∠B=45° ∴∠M=∠B=45° 又∵AD平分∠CAB ∴∠BAD=∠MAD ∵AD=AD ∴△MAD≌△BAD(AAS) ∴MA=AB,即AC+CD=AB。 |