如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE。我们探究下列图中线

如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE。我们探究下列图中线

题型:同步题难度:来源:
如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE。我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,得到如图2、如图3情形。请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断。
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4-6),且AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kb(a≠b,k>0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要说明理由。
(3)在第(2)题图5中,连结DG、BE,且a=3,b=2,k=,求BE2+DG2的值。
答案
解:(1)①BG=DE,BG⊥DE;
②BG=DE,BG⊥DE仍然成立
在图2中证明如下
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形
∴BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE
∴△BCG≌△DCE(SAS)
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
∴∠DOH=90°
∴BG⊥DE;
(2)BG⊥DE成立,BG=DE不成立
简要说明如下:∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形,且AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a≠b,k>0)
,∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCG=∠DCE
∴△BCG∽△DCE
∴∠CBG=∠CDE
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°
∴∠CDE+∠DHO=90°
∴∠DOH=90°
∴BG⊥DE;
(3))∵BG⊥DE
∴BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2
又∵a=3,b=2,k=

举一反三
如图所示,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上的两点,并且AC=BD。求证:OC=OD
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如果D是△ABC中BC边上一点,并且△ADB≌△ADC,则△ABC是[     ]
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
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一个正方体的侧面展开图有( )个全等的正方形。[     ]
A.2个
B.3个
C.4个
D.6个
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如图所示,△ACB≌△DEF,其中A与D,C与E是对应顶点,则CB的对应边是(    ),∠ABC的对应角是(    )。
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如图,AB、DC相交于点O,△AOB≌△DOC,A、D为对应顶点,则这两个三角形中,相等的边是(    ),相等的角是(    )。
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