如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、A

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点(D、E不与B、A重合)．
（1）求证：MD=ME；
（2）求四边形MDCE的面积；
（3）若只将原题目中的“AC=BC=2”改为“BC=a，AC=b，(a≠b)”其它都不变，请你探究：MD和ME还相等吗?如果相等，请证明；如果不相等，请求出MD∶ME的值。

答案

（1）证明：在Rt△ABC中，M是AB的中点，且AC=BC，　　
                   ∴CM=12 AB=BM 　　∠CMA=∠B=45^。，CM⊥AB 　　
                    而∠BMD=90^。-∠DMC，∠EMC=90^。-∠DMC，　　∴∠BMD=∠EMC 　　
                    △BDM≌△CEM（ASA）　　
                    ∴MD=ME
（2）∵△BDM≌△CEM
         ∴S_{四边形DMEC}=S_△DMC+S_△CME=S_△DMC+S_△BMD=S_△BCM=S_△ACB=1，　　
          ∴四边形MDCE的面积为1
（3）不相等。如图所示，
         过M点作MF⊥BC于F，MH⊥AC于H，
        ∵M是AB的中点， ∴MF=b，MH=a     
         ∠FMD=90^。-∠DMH，∠EMH=90^。-∠DMH，故∠FMD=∠EMH ∠MFD=∠MHE=90^。
        ∴△MFD≌△MHE，  ∴MDME=MFMH==