如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线MN经过点O,设锐角∠DOC=∠,将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’,直线A D’、B
题型:不详难度:来源:
如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线MN经过点O,设锐角∠DOC=∠,将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’,直线A D’、B C’相交于点P. (Ⅰ)当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想A D’、B C’的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系; (Ⅱ)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,(1)中的结论还成立吗? (Ⅲ)当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,∠APB与∠α有怎样的数量关系?请证明.
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答案
(Ⅰ)A D’=B C’,∠APB=∠α. (Ⅱ) A D’=B C’仍然成立,∠APB=∠α不一定成立. (Ⅲ)∠APB=180°-∠α. 证明:如图3,设OC’,PD’交于点E. ∵ 将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’, ∴ △DOC≌△D’OC’, ∴ OD=OD’, OC=OC’,∠DOC=∠D’OC’. ∵ 四边形ABCD是等腰梯形, ∴ AC=BD,AB="CD," ∠ABC= ∠DCB. ∵ BC=CB, ∴ △ABC≌△DCB. ∴ ∠DBC=∠ACB. ∴ OB=OC,OA=OD. ∵ ∠AOB= ∠COD=∠C’O D’, ∴ ∠BOC’ = ∠D’O A. ∵ OD’=OA,OC’=OB, ∴ △D’OC’≌△AOB, ∴ ∠OD’C’= ∠OAB . ∵ OD’=OA,OC’=OB,∠BOC’ = ∠D’O A, ∴ ∠OD’A = ∠OAD’=∠OBC’=∠OC’ B. ∵ ∠C’EP= ∠D’EO, ∴ ∠C’PE= ∠C’OD’=∠COD=∠α. ∵∠C’PE+∠APB=180°, ∴∠APB=180°-∠α. |
解析
(1)根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′,得出对应边对应角相等,推理即可得出结论; (2)先进行假设,然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案; (3)易证△BOD′≌△C′OA,则AC′=BD′,∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′,从而得出∠AMB≠α. |
举一反三
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,,BE平分∠ABC且交CD于E,E为CD的中点,EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G,当,时,四边形BGEF的周长为 . |
如图,在四边形中,是对角线的中点,E、 F分别是的中点,则的度数是 则的度数是 . |
如图,口ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则FC的长为……( )
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如图,□ABCD中,∠B+∠D=,则∠A= 度. |
图(a)、图(b)是两张形状.大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1.请在图(a)、图(b)中,分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合.具体要求如下:
(1)画一个面积为10的等腰直角三角形 (2)画一个面积为12的平行四边形 |
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