已知:点P是□ABCD的对角线AC的中点,经过点P的直线EF交AB于点E,交DC于点F,求证:AE=CF。

已知:点P是□ABCD的对角线AC的中点,经过点P的直线EF交AB于点E,交DC于点F,求证:AE=CF。

题型:湖南省中考真题难度:来源:
已知:点P是□ABCD的对角线AC的中点,经过点P的直线EF交AB于点E,交DC于点F,求证:AE=CF。
答案
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠PAE=∠PCF,
∵点P是□ABCD的对角线AC的中点,
∴PA=PC,在△PAE和△PCE中,
∴△PAE≌△PCE(ASA),
∴AE=CF.
举一反三
邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又剩下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形.如图1,□ABCD中,若AB=1,BC=2,则□ABCD为1阶准菱形.
(1)判断与推理:①邻边长分别为2和3的平行四边形是 _________ 阶准菱形; ②小明为了剪去一个菱形,进行了如下操作:如图2,把ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.
(2)操作、探究与计算:①已知□ABCD的邻边长分别为1,a(a>1),且是3阶准菱形,请画出□ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值;
②已知□ABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=6b+r,b=5r,请写出□ABCD是几阶准菱形.
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以平行四边形ABCD的顶点A为原点,直线AD为x轴建立直角坐标系,已知B、D点的坐标分别为(1,3),(4,0),把平行四边形向上平移2个单位,那么C点平移后相应的点的坐标是[     ]
A.(3,3)        
B.(5,3)      
C.(3,5)        
D.(5,5)
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下图中为一个四边形ABCD,其中AC与BD交于E点,且两灰色区域的面积相等,若AD=11,BC= 10,则下列关系正确的是
[     ]
A. ∠DAE<∠BCE
B. ∠DAE>∠BCE
C. BE>DE
D. BE<DE
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已知□ABCD的周长为32,AB=4,则BC等于[     ]
A. 4  
B. 12  
C. 24  
D. 28
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如图所示,□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AB≠AD. 则下列式子不正确的是  
[     ]
A.AC⊥BD    
B. AB= CD    
C.BO=OD      
D.∠BAD=∠BCD
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