如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。（1）探究：线段OE与OF的数量关

题型：河南省期末题难度：来源：

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

答案

解：
（1）OE=OF．。证明如下：
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2。
∵MN∥BC，
∴∠1=∠3。
∴∠2=∠3。
∴OE=OC。
同理可证OC=OF。
∴OE=OF。
（2）四边形BCFE不可能是菱形，若BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线。
（3）当点O运动到AC中点时，且△ABC是等腰直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形。理由如下：
∵O为AC中点，
∴OA=OC，由（1）知OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
∴EF∥BC，∠ACB=90°，
∴□AECF为矩形，又AC⊥EF，
∴□AECF是正方形。
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形时，四边形AECF是正方形。