已知正方形ABCD的边长为1,直线l1∥直线l2,l1与l2之间的距离为1,l1、l2与正方形ABCD的边总有交点。(1)如图(1),当l1⊥AC于点A,l2⊥

已知正方形ABCD的边长为1,直线l1∥直线l2,l1与l2之间的距离为1,l1、l2与正方形ABCD的边总有交点。(1)如图(1),当l1⊥AC于点A,l2⊥

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已知正方形ABCD的边长为1,直线l1∥直线l2,l1与l2之间的距离为1,l1、l2与正方形ABCD的边总有交点。
(1)如图(1),当l1⊥AC于点A,l2⊥AC交边DC、BC分别于E、F时,求△EFC的周长;
(2)把图(1)中的l1与l2同时向右平移x个单位,得到图(2),问△EFC与△AMN的周长的和是否随x的变化而变化,若不变,求出△EFC与△AMN的周长的和;若变化,请说明理由;
(3)把图(2)中的正方形绕点O逆时针旋转α,得到图(3),问△EFC与△AMN的周长的和是否随α的变化而变化,若不变,求出△EFC与△AMN的周长的和;若变化,请说明理由。
答案
解:(1)如图(1),∵正方形ABCD的边长为1,
∴AC=
又∵直线l1∥直线l2,l1与l2之间的距离为1,
∴CG=-1,
∴EF=2-2,EC=CF=2-
∴△EFC的周长为EF+EC+CF=2;(2)△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化,如图(2),
把l1、l2向左平移相同的距离,使得l1过A点,
即l1平移到l4,l2平移到l3,过E、F分别作l3的垂线,垂足为R,G
可证△AHM≌△ERP,△AHN≌△FGQ
∴AM=EP,HM=PR,AN=FQ,HN=GQ
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长,
由已知可计算△CPQ的周长为2
∴△EFC与△AMN的周长的和为2;(3)△EFC与△AMN的周长的和不随α变化而变化,
如图(3),把l1、l2平移相同的距离,使得l1过A点,即l1平移到l4,l2平移到l3,过E、F分别作l3的垂线,垂足为R,S,
过A作l1的垂线,垂足为H,可证△AHM≌△FSQ,△AHN≌△ERP
∴AM=FQ,HM=SQ,AN=EP,HN=PR
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长,如图(4),
过A作l3的垂线,垂足为T连接AP、AQ可证△APT≌△APD,△AQT≌△AQB,
∴DP=PT,BQ=TQ
∴△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2
∴△EFC与△AMN的周长的和为2
举一反三
如图,将矩形沿图中虚线(其中x>y) 剪成①②③③四块图形,用这四块图形恰能拼成一个正方形。
(1)画出拼成的正方形的简图;
(2)的值等于______。
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在图(1)-(5)中,正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上。 操作示例
当2b<a时,如图(1),在BA上选取点G,使BG=b,连接FG和CG,裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH。
思考发现
小明在操作后发现:该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置,易知EH与AD在同一直线上,连接CH,由剪拼方法可得DH=BG,故△CHD≌△CGB,从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置这样,对于剪拼得到的四边形FGCH(如图(1),过点F作FM⊥AE于点M(图略),利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD,易得FH=HC=GC=FG,∠FHC=90°进而根据正方形的判定方法,可以判断出四边形FCCH是正方形。
实践探究
(1)正方形FGCH的面积是____;(用含a,b的式子表示);
(2)类比图(1)的剪拼方法,请你就图(2)一(4)的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图。
联想拓展
小明通过探究后发现:当b≤a时,此类图形都能剪拼成正方形,且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移。
当b>a时(如图(5)),能否剪拼成一个正方形?若能,请你在图(5)中画出剪拼成的正方形的示意图;若不能,简要说明理由。
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将图(1),将一张直角三角形纸片ABC折叠,使点A与点C重合,这时DE为折痕,则△CBE为等腰三角形;再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠,这时得到了两个完全重合的矩形(其中一个是原直角三角形的内接矩形,另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形),我们称这样两个矩形为“叠加矩形”。
(1)如图(2),正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗?如果能,请在图(2)中画出折痕;
(2)如图(3),在正方形网格中,以给定的BC为一边,画出一个斜三角形ABC,使其顶点A在格点上,且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形;
(3)如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形,那么它必须满足的条件是____;
(4)如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”,那么它必须满足的条件是______。
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如图,正方形ABCD的边长为4,E为CD的中点,F为AD边上一点,且不与点D重合,AF=a。
(1)判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值,若存在,求出最大或最小值;若不存在,请说明理由;
(2)若∠BFE=∠FBC,求tan∠AFB的值;
(3)在(2)的条件下,若将“E为CD的中点”改为“CE= K·DE”,其中k是为正整数,其他条件不变,请直接写出tan∠AFB的值。(用k的代数式表示)
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如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动,如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止,同时点,从点B出发,沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为
[     ]
A.2
B.4-π
C.π
D.π-1
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