如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a。（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值，若存在，求出最大

题型：北京模拟题难度：来源：

如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a。
（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，请说明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的条件下，若将“E为CD的中点”改为“CE= K·DE”，其中k是为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值。（用k的代数式表示）

答案

解：（1）如图（1），S_{四边形BCEF}=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△DEF=4²-1/2×4×a-1/2×2×（4-a）=12-a，
∵F为AD边上一点，且不与点D重合，
∴0≤a<4，
∴当点F与点A重合时，a=0，
S_{四边形BCEF}存在最大值12；S_{四边形BCEF}不存在最小值；（2）如图（2），延长BC、FE交于点P
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEP，
∵E为CD的中点，
∴，PF=2EF，
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF，
∵AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，EF=PF/2=8-a/2，
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF^2_，
∴（8-a/2）²=2²+（4-a）^2_，
整理，得3a²-16a+16=0 ，
解得a₁=4/3，a₂=4，
∵F点不与D点重合，
∴a=4不成立，a=4/3，tan∠AFB=AB/AF=3；（3）tan∠AFB=2k+1（K为正整数）