已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90 °,AD=a,BC=b,DC=a+b,且b>a,点M是AB边的中点。(1)求证:CM⊥DM;(2)求点

已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90 °,AD=a,BC=b,DC=a+b,且b>a,点M是AB边的中点。(1)求证:CM⊥DM;(2)求点

题型:安徽省期末题难度:来源:
已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90 °,AD=a,BC=b,DC=a+b,且b>a,点M是AB边的中点。
(1)求证:CM⊥DM;
(2)求点M到CD边的距离。(用含a,b的式子表示)
答案
解:(1)延长DM,CB交于点E.(如图3)
∵梯形ABCD中,AD∥BC,
∴∠ADM=∠BEM.
∵点M是AB边的中点,
∴AM=BM
在△ADM与△BEM中,        
∠ADM=∠BEM,           
 ∠AMD=∠BME,            
AM=BM,
∴△ADM≌△BEM,
∴AD=BE=a,DM=EM,
∴CE=CB+BE=b+a
∵CD=
∴CE=CD
∴CM⊥DM;  
(2)分别作MN⊥DC,DF⊥BC,垂足分别为点N,F(如图4)
∵CE=CD,DM=EM,   
∴CM平分∠ECD.                 
∵∠ABC= 90°,即MB⊥BC,                
∴MN=MB
∵AD∥BC,∠ABC=90°,  
∴∠A=90°
∵∠DFB=90°,  
∴四边形ABFD为矩形.  
∴BF= AD=a,AB= DF
∴FC= BC-BF =b-a     
∵Rt△DFC中,∠DFC=90°, 
 ==4ab
∴ DF=2
∴MN=MB=AB=DF=
即点M到CD边的距离为
举一反三
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动,动点Q从点A出发,在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动,点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒)。
(1)当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形;
(2)当t为何值时,以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2
(3)是否存在点P,使△PQD是等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的t的值,若不存在,请说明理由。
题型:安徽省期末题难度:| 查看答案
如果梯形的一条底边长为5,中位线长为7,那么另一条底边的长为(    )
题型:上海市期末题难度:| 查看答案
如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,AC平分∠DAB,∠DCA=30°,DC=3厘米,则梯形ABCD的周长为(    )。
题型:山东省期中题难度:| 查看答案
等腰梯形的上底与腰相等,下底与对角线相等,则梯形较小的底角度数是(    )。
题型:山东省期中题难度:| 查看答案
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=80°,∠C=50°,AD=2,BC=5.求腰AB的长。
题型:山东省期中题难度:| 查看答案
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