如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S₁、被直线RQ扫过的图形面积为S₂，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB=     ；AC=     ；
（2）若S₂=3S₁，求x；
（3）设S₂=mS₁，求m的变化范围．

答案

解：（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，
∵CD∥AB，
∴四边形DBKC是平行四边形，
∴BK=CD=，CK=BD，
∴AK=AB+BK=3+=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC，
∴AC=CK，
∴BK=EK=AK=2=CE，
∵CE是高，
∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，
∴∠ACK=90°，
∴∠AHB=∠ACK=90°，
∴AC=AK·cos45°=4×=4；
故答案为：90°，4；
（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2．
①当0＜x＜时，
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△QG，
∴=4，
∴S₂=4S_1≠3S₁；
②当≤x≤2时，
∵AB∥CD，
∴△ABH∽△CDH，
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，
∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3，
∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，
∴S_△BCD=×4×1=2，
∵RQ∥BD，
∴△CRQ∽△CDB，
∴S_△CRQ=2×（）²=8（2﹣x）²，
∵S_梯形ABCD=（AB+CD）·CE
=×（3+）×2=8，
S_△ABD=AB·CE=×3×2=6，
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，
∴，
∴S₁=x²，S₂=8﹣8（2﹣x）²，
∵S₂=3S₁，
∴8﹣8（2﹣x）²=3×x²，
解得：x₁=＜（舍去），x₂=2，
∴x的值为2；
（3）由（2）得：
当0＜x＜时，m=4，
当≤x≤2时，
∵S₂=mS₁，
∴m==
=﹣+﹣12
=﹣36（﹣）²+4，
∴m是的二次函数，
当≤x≤2时，即当≤≤时，m随的增大而增大，
∴当x=时，m最大，最大值为4，
当x=2时，m最小，最小值为3，
∴m的变化范围为：3≤m≤4．