如图1,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速

如图1,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速

题型:不详难度:来源:
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=4cm,BC=3cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连结PQ。若设运动时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:

(1)当t为何值时?PQ//BC?
(2)设△APQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系?
(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的周长和面积同时平分?若存在求出此时t的值;若不存在,说明理由。
(4)如图2,连结PC,并把△PQC沿AC翻折,得到四边形PQP"C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP"C为菱形?若存在求出此时t的值;若不存在,说明理由。
答案

解析

试题分析:(1)当PQ∥BC时,我们可得出三角形APQ和三角形ABC相似,那么可得出关于AP,AB,AQ,AC的比例关系,我们观察这四条线段,已知的有AC,根据P,Q的速度,可以用时间t表示出AQ,BP的长,而AB可以用勾股定理求出,这样也就可以表示出AP,那么将这些数值代入比例关系式中,即可得出t的值.
(2)求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值,底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来.关键是高,可以用AP和∠A的正弦值来求.AP的长可以用AB-BP求得,而sinA就是BC:AB的值,因此表示出AQ和AQ边上的高后,就可以得出y与t的函数关系式.
(3)如果将三角形ABC的周长和面积平分,那么AP+AQ=BP+BC+CQ,那么可以用t表示出CQ,AQ,AP,BP的长,那么可以求出此时t的值,我们可将t的值代入(2)的面积与t的关系式中,求出此时面积是多少,然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半,从而判断出是否存在这一时刻.
(4)过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,那么PNCM就是个矩形,解题思路:通过三角形BPN和三角形ABC相似,得出关于BP,PN,AB,AC的比例关系,即可用t表示出PN的长,也就表示出了MC的长,要想使四边形PQP"C是菱形,PQ=PC,根据等腰三角形三线合一的特点,QM=MC,这样有用t表示出的AQ,QM,MC三条线段和AC的长,就可以根据AC=AQ+QM+MC来求出t的值.求出了t就可以得出QM,CM和PM的长,也就能求出菱形的边长了.
试题解析:(1) 连接PQ,

时,PQ//BC,即
∴ t=
(2) 过P作PD⊥AC于点D,则有

∴ PD=
∴  y==(0<t<2)
(3) 若平分周长则有:
AP+AQ=(AB+AC+BC),
即:5-t+2t=6,
∴ t=1
当t=1时,y=3.4;而三角形ABC的面积为6,显然不存在。
过P作PD⊥AC于点D,若QD=CD,则PQ=PC,四边形PQP"C就为菱形。

同(2)方法可求AD=,所以:
-2t=4-
解之得:t=
即t=时,四边形PQP"C为菱形。
考点: 相似形综合题.
举一反三
如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,则下列结论不正确的是(  )

A.BC=2DE
B.△ADE∽△ABC
C.
D.S△ABC=3S△ADE
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在比例尺是1∶8 000的南京市城区地图上,太平南路的长度约为25 cm,它的实际长度约为(  )
A.320 cmB.320 m
C.2 000 cmD.2 000 m

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两个相似多边形的面积比是9∶16,其中小多边形的周长为36 cm,则较大多边形的周长为  )
A.48 cmB.54 cmC.56 cmD.64 cm

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小张用手机拍摄得到甲图,经放大后得到乙图,甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是(  )
A.FGB.FHC.EHD.EF

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如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是(  )
A.(2,4)B.(-1,-2)
C.(-2,-4)D.(-2,-1)

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