如图1,点将线段分成两部分,如果,那么称点为线段的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线
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如图1,点将线段分成两部分,如果,那么称点为线段的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线
题型:不详
难度:
来源:
如图1,点
将线段
分成两部分,如果
,那么称点
为线段
的黄金分割点.
某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线
将一个面积为
的图形分成两部分,这两部分的面积分别为
,
,如果
,那么称直线
为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想:在
中,若点
为
边上的黄金分割点(如图2),则直线
是
的黄金分割线.你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?
(3)研究小组在进一步探究中发现:过点
任作一条直线交
于点
,再过点
作直线
,交
于点
,连接
(如图3),则直线
也是
的黄金分割线.
请你说明理由.
(4)如图4,点
是
的边
的黄金分割点,过点
作
,交
于点
,显然直线
是
的黄金分割线.请你画一条
的黄金分割线,使它不经过
各边黄金分割点.
答案
(1)对,理由见解析(2)不可能(3)理由见解析(4)见解析
解析
(1)直线
是
的黄金分割线.理由如下:
设
的边
上的高为
.
,
,
,
所以,
,
.··············· 2分
又因为点
为边
的黄金分割点,所以有
.因此
.
所以,直线
是
的黄金分割线.·············· 4分
(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时
,即
,所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.········ 6分
(3)因为
,所以
和
的公共边
上的高也相等,
所以有
.························· 7分
设直线
与
交于点
.所以
.
所以
,
.
又因为
,所以
.··········· 9分
因此,直线
也是
的黄金分割线.··············· 10分
(4)画法不惟一,现提供两种画法;·················· 12分
画法一:如答图1,取
的中点
,再过点
作一条直线分别交
,
于
,
点,则直线
就是
的黄金分割线.
画法二:如答图2,在
上取一点
,连接
,再过点
作
交
于点
,连接
,则直线
就是
的黄金分割线.
(1)由于
是同高,而点
为边
的黄金分割点,则
,所以
,故直线
是
的黄金分割线
(2)只需判断它们面积比是否相等,若相等则中线是三角形的黄金分割线,否则不是
(3)根据平行线间的距离相等,则
,通过图形面积的转化,直线
分三角形的图形面积有
,故直线
也是
的黄金分割线
(4)画法不惟一,只需分成图形面积比相等即可
举一反三
如图,在直角坐标系中,矩形
的顶点
与坐标原点重合,顶点
在坐标轴上,
,
.动点
从点
出发,以
的速度沿
轴匀速向点
运动,到达点
即停止.设点
运动的时间为
.
(1)过点
作对角线
的垂线,垂足为点
.求
的长
与时间
的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
(2)在点
运动过程中,当点
关于直线
的对称点
恰好落在对角线
上时,求此时直线
的函数解析式;
(3)探索:以
三点为顶点的
的面积能否达到矩形
面积的
?请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,PAB、PCD为⊙O的两条割线,AD、BC相交于点E,则图中相似三角形共有
A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
题型:不详
难度:
|
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如图,在矩形ABCD中, 点E为边BC的中点, AE⊥BD,垂足为点O, 则
的值等于
.
题型:不详
难度:
|
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如图,
中,
于
一定能确定
为直角三角形的条件的个数是( )
①
②
③
④
⑤
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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如图,
在平面直角坐标系中,
若
、
的长是关于
的一元二次方程
的两个根,且
(1)求
的值.
(2)若
为
轴上的点,且
求经过
、
两点的直线的解析式,并判断
与
是否相似?
(3)若点
在平面直角坐标系内,则在直线
上是否存在点
使以
、
、
、
为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出
点的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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