如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD与Q,PQ=4,PE=1.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)求证:∠BPQ=60°;

如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD与Q,PQ=4,PE=1.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)求证:∠BPQ=60°;

题型:不详难度:来源:
如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD与Q,PQ=4,PE=1.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求证:∠BPQ=60°;
(3)求AD的长.
答案
(1)(2)见解析;(3)9
解析

试题分析:(1)由于△ABC是等边三角形,那么有AB=AC,∠BAE=∠ACD=60°,而AE=CD,利用SAS可证△BAE≌△ACD;
(2)由△BAE≌△ACD可得∠1=∠2,根据∠BAE=∠1+∠BAD=60°,等量代换则有∠2+∠BAD=60°,再利用三角形外角性质可得∠BPQ=60°;
(3)在Rt△BPQ,易求∠PBQ=30°,于是可求得BP,从而可求得BE,而△BAE≌△ACD,即可得到结果.
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAE=∠ACD=60°,
又∵AE=CD,
∴△BAE≌△ACD,
(2) 如图所示:

∵△BAE≌△ACD,
∴∠1=∠2,
∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°,
∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°,
∴∠BPQ=60°;
(3)∵BQ⊥AD,
∴∠BQP=90°,
又∵∠BPQ=60°,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ=2×4=8,
∴BE=BP+PE=8+1=9,
由(1)知△BAE≌△ACD,
∴AD=BE=9.
点评:解答本题的关键是熟练掌握含有30°的直角三角形的性质:30°角所对的直角边是斜边的一半.
举一反三
下列几组数不能作为直角三角形三边长的是(   ).
A.8、15、17B.7、24、25
C.30、40、50D.32、60、80

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一个十二边形的内角和是        度 ,外角和是       度.
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一个多边形的内角和是720,则这个多边形的边数为(    )
A.4B.5C.6D.7

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小明家的窗户高9米,小明用长为10米的梯子斜靠在墙上,但梯子的底端距墙面不能超过4米,否则危险。则小明    (填能、不能)爬到窗户。
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如图:若△ABE≌△ACF,且AB=5,AE=2,则EC的长为(     )
A.2B.3 C.5D.2.5

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