(满分l0分)如图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点，试判断OE和AB的位置关系，并给出证明。

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答案

OE⊥AB． ……1分
证明：在△BAC和△ABD中，

       AC=BD,
∠BAC=∠ABD，
AB=BA．
∴△BAC≌△ABD．                                           ……5分
∴∠OBA=∠OAB，
∴OA=OB．                                                  ……8分
又∵点E是AB的中点
∴AE=BE．∴OE⊥AB．                                        ……l0分
(注：若开始未给出判断“OE⊥AB”，但证明过程正确，不扣分)

解析

略

举一反三

如图，在△ABC中，AB>AC，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形AD A′E是菱形，则下列说法中正确的是

A．DE是△ABC的中位线

B．AA′是BC边上的中线

C．AA′是BC边上的高

D．AA′是△ABC的角平分线

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在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC或直线AC上找到一点P，使△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的个数是

A．4

B．6

C．7

D．8

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(满分l2分)学完“等边三角形”这一节后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．
求证：∠BQM=60°．
(1)请你完成这道思考题；
(2)做完(1)后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°?
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°?
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①______；②______；③______．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

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如图∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，请连结AD，并写出根据所给条件推出的两个正确结论_______________________．

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如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，点F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CD．连结DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形；
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是_____________．

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