如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG·BG=4，求BE的长．

答案

（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC=∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC，
∴∠FDC=∠EBE，
∵∠DGE=∠DGE，
∴△BDG∽△DEG；
（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC，
∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF，
∴BD=BF，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG，
∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，
即BG⊥DF，
∵BD=BF，
∴DF=2DG，
∵△BDG∽△DEG，BG·EG=4，
∴=，
∴BG·EG=DG·DG=4，
∴DG=2，
∴BE=DF=2DG=4．