如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，

题型：江苏期中题难度：来源：

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积．
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图）．
探究1：在运动中，四边形CDH?H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH?重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系．

答案

解：（1）∵AH：AC=2：3，AC=6
∴AH=AC=×6=4
又∵HF∥DE，
∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB
∴=，即=，
∴HG=∴S_△AHG=AH*HG=×4×=．
（2）①能为正方形
∵HH′∥CD，HC∥H′D，
∴四边形CDH′H为平行四边形
又∠C=90°，
∴四边形CDH?H为矩形
又CH=AC﹣AH=6﹣4=2
∴当CD=CH=2时，
四边形CDH′H为正方形
此时可得t=2秒时，四边形CDH?H为正方形．
②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，
∴EF∥AB
∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合．
当0≦t≦4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积．
过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===
∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE﹣ME=4﹣=
∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2=
∴y=．
（Ⅱ）∵当4＜t≦5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积一矩形CDH?H的面积．
而S_{四边形CBGH}=S_△ABC﹣S_△AHG=×8×6﹣=
S_{矩形CDH′H}=2t
∴y=﹣2t．
（Ⅲ）当5＜t≦8时，如图，设H′D交AB于P，BD=8﹣t
又=tan∠ABC=
∴PD=DB=（8﹣t）
∴重叠部分的面积y=S
△PDB=PD×DB=（8﹣t）（8﹣t）=（8﹣t）2=t2﹣6t+24．
∴重叠部分面积y与t的函数关系式：
y=．