已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q。（1）请你写出此时图形中成立的一个

题型：北京期中题难度：来源：

已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q。
（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）；
（2）当点P满足什么条件时，有AQ+BC=CQ，请证明你的结论；
（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ，并写出论证的过程。

答案

解：（1）△APQ∽△BCP；
（2）当P为AB中点时，有AQ+BC=CQ，
证明：连接CQ，延长QP交CB的延长线于点E，
可证△APQ≌△BPE，
则AQ=BE，PQ= PE，
又因为CP⊥QE，可得CQ= CE，
所以AQ+BC=CQ；
（3）当AQ=时，有PC=3PQ，
证明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB，
又因为直角三角板的顶点P在边AB上，
所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°，
因为Rt△CBP中，∠3+∠2=90°，
所以∠1=∠3，
所以△APQ∽△BCP，
所以
因为AQ=，
所以
所以AP=，或AP=（不合题意，舍去），
所以，
所以PC=3PQ。