已知:如图,一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上,并且使一条直角边经过点C,三角板的另一条直角边与AD交于点Q。(1)请你写出此时图形中成立的一个

已知:如图,一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上,并且使一条直角边经过点C,三角板的另一条直角边与AD交于点Q。(1)请你写出此时图形中成立的一个

题型:北京期中题难度:来源:
已知:如图,一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上,并且使一条直角边经过点C,三角板的另一条直角边与AD交于点Q。
(1)请你写出此时图形中成立的一个结论(任选一个);
(2)当点P满足什么条件时,有AQ+BC=CQ,请证明你的结论;
(3)当点Q在AD的什么位置时,可证得PC=3PQ,并写出论证的过程。
答案
解:(1)△APQ∽△BCP;
(2)当P为AB中点时,有AQ+BC=CQ,
证明:连接CQ,延长QP交CB的延长线于点E,
可证△APQ≌△BPE,
则AQ=BE,PQ= PE,
又因为CP⊥QE,可得CQ= CE,
所以AQ+BC=CQ;
(3)当AQ=时,有PC=3PQ,
证明:在正方形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=BC=AB,
又因为直角三角板的顶点P在边AB上,
所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°,
因为Rt△CBP中,∠3+∠2=90°,
所以∠1=∠3,
所以△APQ∽△BCP,
所以
因为AQ=
所以
所以AP=,或AP=(不合题意,舍去),
所以
所以PC=3PQ。
举一反三
线段AB、CD在平面直角坐标系中的位置如图所示,O为坐标原点,若线段AB上一点P的坐标为(a,b),则直线OP与线段CD的交点的坐标为(    )。
题型:山东省中考真题难度:| 查看答案
某小区现有一块等腰直角三角形形状的绿地,腰长为100米,直角顶点为A,小区物业管委会准备把它分割成面积相等的两块,有如下的分割方法:
方法一:在底边BC上找一点D,连接AD作为分割线;
方法二:在腰AC上找一点D,连接BD作为分割线;
方法三:在腰AB上找一点D,作DE∥BC,交AC于点E,DE作为分割线;
方法四:以顶点A为圆心,AD为半径作弧,交AB于点D,交AC于点E,弧DE作为分割线。
这些分割方法中分割线最短的是
[     ]
A.方法一
B.方法二
C.方法三
D.方法四
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如图,四边形ABCD为一梯形纸片,AB∥CD,AD=BC,翻折纸片ABCD,使点A与点C重合,折痕为EF。已知CE⊥AB。
(1)求证:EF∥BD;
(2)若AB=7,CD=3,求线段EF的长。
题型:山东省中考真题难度:| 查看答案
已知,如图所示,图①和图②中的每个小正方形的边长都为1个单位长度。
(1)将图①中的格点△ABC(顶点都在网络线交点处的三角形叫做格点三角形)向上平移2个单位长度得到△A1B1C1,请你在图中画出△A1B1C1
(2)在图②中画一个与格点△ABC相似的格点△A2B2C2,且△A2B2C2与△ABC的相似比为2:1。
题型:青海省中考真题难度:| 查看答案
已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(-3,0),C(1,0),tan∠BAC=
(1)求过点A,B的直线的函数表达式;
(2)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由。
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