如图所示,△ABC内接于圆O,过点A的直线交圆O于点P,交BC的延长线于点D,AB2=AP·AD。(1)求证:AB=AC; (2)如果∠ABC=60°,圆O的半

如图所示,△ABC内接于圆O,过点A的直线交圆O于点P,交BC的延长线于点D,AB2=AP·AD。(1)求证:AB=AC; (2)如果∠ABC=60°,圆O的半

题型:专项题难度:来源:
如图所示,△ABC内接于圆O,过点A的直线交圆O于点P,交BC的延长线于点D,AB2=AP·AD。
(1)求证:AB=AC;
(2)如果∠ABC=60°,圆O的半径为1,且P为的中点,求AD的长。
答案
解:(1)连结BP,
∵AB2=AP·AD

∵∠BAD=∠PAB,
∴△ABD∽△APB,
∴∠ABC=∠APB,
又∵∠APB=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)由(1)知AB=AC,
∴∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°
∵P为的中点,
∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°
∴BP为直径,
∴BP=2,
∴AP=BP=1,
∴AB2=BP2-AP2=3
∵AB2=AP·AD
∴AD==3。
举一反三
如图所示,A、B是直线l上的两点,AB=4厘米,过l外一点C作CD∥l,射线BC与l所成的锐角∠a=60°,线段BC=2厘米,动点P、Q分别从B、C同时出发,P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动,Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动,设P、Q 运动的时间为t秒,当t>2时,PA交CD于E,
(1)用含t的代数式分别表示CE和QE的长,
(2)求△APQ的面积S与t的函数关系式,
(3)当QE恰好平分△APQ的面积时,QE的长是多少厘米?
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如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE︰CE=2︰3,连结AE、BD,且AE、BD交于点F,则S△DEF:S△BAF等于
[     ]
A、4︰25
B、4︰9
C、2︰3
D、2︰5
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两个相似三角形的一组对应边分别为20cm,8cm,它们的周长相差60cm,则这两个三角形的周长之和为(    )。
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在直角△ABC中,AD是斜边BC上的高,BD=4,CD=9,则AD=(    )。
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如图,DE与△ABC的边AB,AC分别相交于D、E两点,且DE∥BC,若DE=2,AE=,EC=,则BC=(    )。
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