如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，

题型：北京期末题难度：来源：

如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线运动的时间为t（秒）。
（1）写出点B的坐标；
（2）t为何值时，；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值？并求S的最大值。

答案

解：（1）点B的坐标是（3，4）；
（2）当0＜t≤3时，(图1)
        ∵MN//AC，且
      ∴M是OA的中点
       ∴t=1.5秒.
        当3＜t＜6 时，（图2）设直线m与x轴交点为D，
         ∵MN//AC，且
         ∴M是AB的中点
        可证：△AMD≌△BMN
            ∴BN=AD=t-3
           ∴△BMN∽△BAC
           ∴    ∴
          ∴
       ∴ 
（3） 当0＜t≤3时，OM=t（图3） 
         由△OMN∽△OAC，得
         ∴ ON=，S=
          当3＜t＜6时，(图4)
          ∵ OD=t，∴ AD= t-3
          易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-3，BN=6-t
    
     当0＜t≤3时， 
     ∵ 抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，
     ∴ 当t=3时，S可取到最大值==6
     当3＜t＜6时， 
     ∵ 抛物线S=的开口向下，它的顶点是（3，6）， 
      ∴ S＜6
     综上，当t=3时，S有最大值6。