已知:△ABC中,AD为中线,∠BAD=60°,AB=10,BC=419,求AC的长.

已知:△ABC中,AD为中线,∠BAD=60°,AB=10,BC=419,求AC的长.

题型:不详难度:来源:
已知:△ABC中,AD为中线,∠BAD=60°,AB=10,BC=4


19
,求AC的长.
答案
分别过B、C作BF⊥AD于F,CE⊥AD于E,
在Rt△AFB中,∠BAF=60°,AB=10,
sin∠BAF=
BF
AB

∴BF=ABsin∠BAF=5


3

cos∠BAF=
AF
AB

∴AF=ABcos∠BAF=5.
BC=4


19
,AD为中线,
∴BD=DC=2


19

在Rt△BFD中,DF=


BD2-BF2
=


(2


17
)
2
-(5


3
)
2
=1,
∵D为BC中点,∴BD=CD,
又CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠ADC=∠BDF.
∴△BDF≌△CDE(AAS).
∴DE=DF=1.
∴AE=5-2=3,CE=BF=5


3

在Rt△AEC中,AC=


AE2+CE2
=


32+(5


3
)
2
=2


21

又若△ABC"时,AE"=5+2=7,C"E"=5


3

在Rt△AE"C"中,A"C"=


AE′2+C′E′2
=2


31

∴AC的长为2


31
2


21

举一反三
如图,某滑板爱好者训练时的斜坡示意图,出于安全因素考虑,决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°,已知原斜坡坡面AB的长为5米,点D、B、C在同一水平地面上.
(1)改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米?(精确到0.01)
(2)若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全,已知原斜坡AB的前方有6米长的空地,进行这样的改造是否可行?说明理由.
(参考数据:


2
=1.414,


3
=1.732,


6
=2.449

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如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地面控制点B的俯角α=20°(B、C在同一水平线上),求目标C到控制点B的距离(精确到1米).
(参考数据sin20°=0.34,cos20°=0.94,tan20°=0.36)
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如图,在气象站台A的正西方向240km的B处有一台风中心,该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动,在距离台风中心130km内的地方都要受到其影响.
(1)台风中心在移动过程中,与气象台A的最短距离是多少?
(2)台风中心在移动过程中,气象台将受台风的影响,求台风影响气象台的时间会持续多长?
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在课外活动中,一个小组测量学校旗杆的高度,如图,他们在距离旗杆底部B点8米的C点处竖立一根高为1.6米的标杆CD,当从标杆顶部D看旗杆顶部A点时,仰角刚好是35°,那么旗杆AB的高度(精确到0.1米)大约是(  )
(参考数据:sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002)
A.6.6B.6.8C.7D.7.2

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如图,要测量小山上电视塔BC的高度,在山脚下点A测得:塔顶B的仰角为∠BAD=40°,塔底C的仰角为∠CAD=29°,AC=200米,求电视塔BC的高.(精确到1米)(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin29°≈0.48,cos29°≈0.87,tan29°≈0.55.)
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