如图:在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.①、则梯形的高是     ;②、若EF平分等腰梯形ABC

如图:在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.①、则梯形的高是     ;②、若EF平分等腰梯形ABC

题型:不详难度:来源:
如图:在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.

①、则梯形的高是     
②、若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为,试用含的代数式表示△BEF的面积;
③、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此BE的长;若不存在,请说明理由;
④、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1︰2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由.
答案
①4;②;③存在,7;④存在,
解析

试题分析:①过点A作AH⊥BC于点H,根据等腰梯形的性质可求得BH的长,然后根据勾股定理求解即可;
②根据题意画出BE的高FM,然后,推出梯形周长的一半(即12),即可知BF=12x,通过求证△FBM∽△ABH,即可推出高FM关于x的表达式,最后根据三角形的面积公式,即可表示出△BEF的面积;
③通过计算等腰梯形的面积,即可推出其一半的值,然后结合结论(2)即可推出结论;
④首先提出假设成立,然后,分情况进行讨论,①若当BE+BF=8,△BEF的面积=,根据题意列出方程,求出x;②若当BE+BF=16,△BEF的面积=时,根据题意列出方程,求出x,最后即可确定假设不成立,即可推出结论.
试题解析:①过点A作AH⊥BC于点H
∵等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10,
∴BH=(BCAD)÷2=3,
,即梯形的高为4;
②过点F作FM⊥BC于点M

∵等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10,
∴等腰梯形ABCD的周长=24,
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长,
∴BF+BE=12,
∵BE=x,
∴BF=12x,
∵FM∥AH,
∴△FBM∽△ABH,
∴BF:AB=FM:AH,


∴△BEF的面积
③假设线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分.
∵等腰梯形ABCD中,AH=4,AD=4,BC=10,
∴等腰梯形ABCD面积的一半=4(4+10)÷2÷2=14,
∵当线段EF将等腰梯形ABCD的周长平分时,△BEF的面积关于x的函数表达式为

∴整理方程得:

解方程得:
∵当时,
,不符合题意,舍去,
∴当BE=7时,线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分;
④假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分.
∵等腰梯形ABCD的周长=24,等腰梯形ABCD的面积=28,
则①若当BE+BF=8,△BEF的面积=
∵BE=x,
∴BF=8x,
∵FM∥AH,
∴△FBM∽△ABH,
∴BF:AB=FM:AH,


∴△BEF的面积
时,

整理方程得:

∴故方程无实数解,
∴此种情况不存在;
②若当BE+BF=16,△BEF的面积=时,

∴△BEF的面积

整理方程得:
解方程得:(舍去),
∴当时,线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分.
举一反三
一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时,该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处(如图),上午9时行到C处,测得灯塔恰好在它的正北方向,此时它与灯塔的距离是        海里(结果保留根号).

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已知在中,,那么的长为(   ).
A.B.C.D.

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在△中,,如果,那么    
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已知线段,延长到点,使,则    

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计算:
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