如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.(1)求证:PB是⊙O

如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.(1)求证:PB是⊙O

题型:不详难度:来源:
如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)求证:AQ•PQ=OQ•BQ;
(3)设∠AOQ=α,若cosα=
4
5
,OQ=15,求AB的长.
答案
(1)证明:连接OP,与AB交于点C.
∵PA=PB,OA=OB,OP=OP,
∴△OAP≌△OBP(SSS),
∴∠OBP=∠OAP,
∵PA是⊙O的切线,A是切点,
∴∠OAP=90°,
∴∠OBP=90°,即PB是⊙O的切线;

(2)证明:∵∠Q=∠Q,∠OAQ=∠QBP=90°,
∴△QAO△QBP,
AQ
BQ
=
OQ
PQ
,即AQ•PQ=OQ•BQ;

(3)连OP并交AB于点C,
在Rt△OAQ中,∵OQ=15,cosα=
4
5

∴OA=12,AQ=9,
∴QB=27;
AQ
BQ
=
OQ
PQ

∴PQ=45,即PA=36,
∴OP=12


10

∵∠APO=∠APO,∠PAO=∠PCA=90°
∴△PAC△POA,
PA
PO
=
AC
AO

∴PA•OA=OP•AC,即36×12=12


10
•AC,
∴AC=
18
5


10
,故AB=
36
5


10
举一反三
如图,AB、CD是⊙0的两条平行弦,BEAC交CD于E.过A点的切线交DC延长线于P,若AC=3


2
,求PC•CE的值.
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如图,⊙A的圆心坐标为(0,4),若⊙A的半径为3,则直线y=x与⊙A的位置关系是______.
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如图,直线EF交⊙O于A、B两点,AC是⊙O直径,DE是⊙O的切线,且DE⊥EF,垂足为E.若∠CAE=130°,则∠DAE=______°.
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如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,点C在⊙O上,CA=CD,∠CDA=30°.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为4,求点A到CD所在直线的距离.
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如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,CD是⊙O的切线,C为切点,AD⊥CD于点D.求证:
(1)∠AOC=2∠ACD;
(2)AC2=AB•AD.
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