解:(1)连接AF,
∵AE∥BF,
∴∠1=∠3,∠4=∠2,
又∵AB=AF,
∴∠3=∠4,
∴∠1=∠2,
又∵AO=AF,AE=AE,
∴△AOE≌△AFE,
∴∠AFE=∠AOE=90°,
∴FC是⊙O的切线;
(2)由(1)知EF=OE=,
∵AE∥BF,
∴,
∴,
∴①;
又∵OE2+OC2=CE2,
∴②;
由①②解得OC=0(舍去)或OC=2,
∴C(2,0),
∵直线FC经过E(0,-),C(2,0)两点,
设FC的解析式:y=kx+b,
∴,解得,
∴直线FC的解析式为y=;
(3)存在:当点P在点C左侧时,若∠MPN=90°,过点P作PE⊥MN于点E,
∵∠MPN=90°,PM=PN,
∴PH=PM×cos45°=,
∵AF⊥FC,
∴PE∥AF,
∴△CPE∽△CAF,
∴,
∴,
∴CP=,
∴PO=-2,
∴P(2-,0),
当点P在点C右侧P′时,设∠M′P′N′=90°,过点P′作P′Q⊥M′N′于点Q,则P′Q=,
∴P′Q=PE,可知P′与P关于点C中心对称,根据对称性得:
∴OP′=OC+CP′=2+,
∴P′(2+,0),
∴存在这样的点P,使得△PMN为直角三角形,P点坐标(2-,0)或(2+,0)。
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