边长为1的正三角形ABC的中心O,以O为圆心,在正三角形内画一个圆,(⊙O),再作⊙O1,⊙O2,⊙O3,分别与正三角形的两边及⊙O都相切,试求,这四个面积总和

边长为1的正三角形ABC的中心O,以O为圆心,在正三角形内画一个圆,(⊙O),再作⊙O1,⊙O2,⊙O3,分别与正三角形的两边及⊙O都相切,试求,这四个面积总和

题型:不详难度:来源:
边长为1的正三角形ABC的中心O,以O为圆心,在正三角形内画一个圆,(⊙O),再作⊙O1,⊙O2,⊙O3,分别与正三角形的两边及⊙O都相切,试求,这四个面积总和的最大值与最小值,并指出面积总和取最值时对应的⊙O的半径.
答案
设圆O的半径为x,已知圆O1,圆O2,圆O3的半径相等,设其为z,由AO1=2z,AO=


3
3

得:3z+x=


3
3

∴z=


3
9
-
x
3

设四个圆面积之和为y,则y=πx2+3π(


3
9
-
x
3
)
2
=
3
(x-


3
12
)
2
+
π
12

不难得到x的取值范围为


3
3
-3


3
-1
4
≤x≤


3
6

∴x=


3
12
时,ymin=
π
12
,x=


3
6
时,ymax=
π
9

故当圆O的半径为


3
12
时,四圆面积和取最小值
π
12

当圆O的半径为


3
6
时,四圆面积和取最大值
π
9
举一反三
以平面直角坐标系中的两点O1(0,3)和O2(4,0)为圆心,以8和3为半径的两圆的位置关系是(  )
A.内切B.外切C.相离D.相交
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如果两圆的半径分别为2和5,且圆心距等于7,那么这两圆的位置关系是(  )
A.相离B.外切C.内切D.相交
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已知⊙O1和⊙O2的半径长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两个根,O1O2=2,则这两个圆的位置关系是(  )
A.相离B.相交C.外切D.内切
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如图,⊙A与⊙B外切于点P,它们的半径分别为6和2,直线CD与它们都相切,切点分别为C,D,则图中阴影部分的面积是(  )
A.16


3
B.16


3
-6π
C.16


3
-
4
3
π
D.16


3
-
22
3
π

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如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,P为切点,设AB=12,则两圆构成圆环面积为______.
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