如图（1），在矩形ABCD 中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN。 （1）求证：△AND ≌△CBM； （

题型：海南省中考真题难度：来源：

如图（1），在矩形ABCD 中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN。
（1）求证：△AND ≌△CBM；
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE 是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？
（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ ∥MN，且AB=4 ，BC=3 ，求PC 的长度。

答案

（1 ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D= ∠B ，AD=BC ，AD ∥BC ，              
∴∠DAC= ∠BCA，           
又由翻折的性质，得∠DAN= ∠NAF ，∠ECM= ∠BCM ，
∴∠DAN= ∠BCM ；          
∴△AND≌△CBM（ASA）。
（2 ）证明：∵△AND ≌△CBM ，
∴DN=BM ，            
又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，            
∴FN=EM。            
又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，          
∴FN∥EM。
∴四边形MFNE是平行四边形。四边形MFNE 不是菱形，理由如下：
由翻折的性质，得∠CEM= ∠B=900，
∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。
∴FM＞EM，
∴四边形MFNE不是菱形；
（3）解：∵AB=4 ，BC=3 ，
∴AC=5 。           
 设DN=x ，则由S_△ADC=S_△AND＋S_△NAC
得3 x＋5 x=12，
解得x=，即DN=BM=，
过点N作NH⊥AB于H，则HM=4-3=1，
在△NHM中，NH=3，HM=1，
由勾股定理，得NM=，
∵PQ∥MN，DC∥AB，
∴四边形NMQP是平行四边形，
∴NP=MQ，PQ= NM=，
又∵PQ=CQ，
∴CQ=，
在△CBQ中，CQ=，CB=3，
由勾股定理，得BQ=1，
∴NP=MQ=，
∴PC=4-