导数的应用

　　科学应用

　　导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。导数亦名纪数、微商(微分中的概念)，是由速度变化问题和曲线的切线问题(矢量速度的方向)而抽象出来的数学概念，又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时。但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：

　　那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：

　　当 t1与t0无限趋近于零时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，瞬时速度就近似等于平均速度 。自然就把当t1→t0时的极限　　作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 (如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度)。

　　微积分

　　导数另一个定义：当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数(derivative function)，简称导数).

　　y=f(x)的导数有时也记作y'：

　　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度)、可以表示曲线在一点的斜率(矢量速度的方向)、还可以表示经济学中的边际和弹性。

　　以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面(比如切向量场)的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

　　注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。

　　2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。(导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。)

　　求导方法① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)② 求平均变化率③ 取极限，得导数。