如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（0，a），B点的坐标为（b，0），且a、b满足．（1）求证：∠OAB=∠OBA；（2）点C为OB的延长线上一点，连接AC，过

题型：山东省期中题难度：来源：

如图，在直角坐标系中，A点的坐标为（0，a），B点的坐标为（b，0），且a、b满足．
（1）求证：∠OAB=∠OBA；
（2）点C为OB的延长线上一点，连接AC，过B作BD⊥AC，连接OD．求证：OD平分∠ADB；
（3）点E，是点A关于x轴的对称点，点F是点B关于y轴的对称点，P为AF的延长线上一动点，G为BA的延长线上一点，连接PG，且满足BG=PG+PF，当P在AF的延长线上运动的过程中，∠PEG的度数是否会发生变化？若不变，请求出它的度数；若改变，请说明理由．

答案

（1）证明：∵a、b满足，
∴a+b=4，a﹣2b=﹣2，
∴a=2，b=2，
∴A点的坐标为（0，2），B点的坐标为（2，0），
∴OA=OB=2，
∴∠OAB=∠OBA；
（2）证明：∵∠AOB=90°，∠ADB=90°，
∴A、O、B、D四点在同一个圆上，
∵OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠ADO=∠OBA=45°，
∴∠BDO=∠OAB=45°，
∴∠BDO=∠ADO，
∴OD平分角ADB；
（3）解：∠PEG=45°不变．
连接EF和BE，在BG上截BM=PF，连接ME，
∵点E是点A关于x轴的对称点，点F是点B关于y轴的对称点，
∴EF=BE，四边形AFBE是正方形，
∴△PFE≌△MBE，
∴∠MEB=∠PEF，
∵GB∥EF，
∴∠FEG=∠AGE．
∴∠PEG=∠PEF+∠GEF=∠MEB+∠MGE，
∵△PGE≌△MGE，
∴∠PEG=∠GEM，
∴∠GEM=∠MEB+∠MGE，
∵∠GEM+∠MEB+∠MGE=90°，
∴∠GEM=∠MEB+∠MGE=45°，
∴∠PEG=45°