(1)根据旋转的定义,旋转角∠ACA1=∠BCB1, ∵Rt△A1B1C是Rt△ABC绕顶点C旋转得到, ∴AC=A1C,BC=B1C, ∴△ACA1∽△BCB1, ∴=, ∵cot30°==, ∴=;
(2)S△ACB1=S△A1CB. 理由如下:如图2,作AM⊥B1C于点M,作A1N⊥CB于N, 则∠ACA1+∠A1CB=90°, ∠ACA1+∠ACM=90°, ∴∠A1CB=∠ACM, 在△ACM和△A1CN中,
| ∠A1CB=∠ACM | ∠AMC=∠A1NC=90° | AC=A1C |
| | , ∴△ACM≌△A1CN(AAS), ∴AM=A1N, 又∵CB1=CB, ∴S△ACB1=S△A1CB;
(3)如图3,连接CO、PO, ∵AB的中点为O,A1B1的中点为P, ∴CO=PO=AO, ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°, ∴∠A=90°-30°=60°, ∴△ACO是等边三角形, ∴∠ACO=60°, ∵OP⊥A1C, ∴∠A1CP=∠A1CO=∠A=60°(等腰三角形三线合一), ∴∠ACA1=∠ACO+∠A1CO=60°+60°=120°, 即当θ=120°时,OP⊥A1C. 故答案为:(1);(3)120°. |