设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.
题型:解答题难度:简单来源:不详
设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2. (1)求a,b的值; (2)证明:f(x)≤2x-2. |
答案
(1) a=-1,b=3. (2)利用导数证明。 |
解析
试题分析: (1)f ′(x)=1+2ax+.(1分) 由已知条件得即 解得a=-1,b=3. (4分) (2)f(x)的定义域为(0,+∞), 由(1)知f(x)=x-x2+3lnx. 设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则 g′(x)=-1-2x+=-. (6分) 当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.(8分) 而g(1)=0,故当x>0时,g(x)≤0,即f(x)≤2x-2. (10分) 点评:中档题,导数的应用是高考必考内容,思路往往比较明确根据导数值的正负,确定函数的单调性。定义不懂事的证明问题,往往通过构造函数,转化成求函数的最值,使问题得解。 |
举一反三
若函数的定义域是[0,4],则函数的定义域是( )A.[ 0, 2] | B.(0,2) | C.(0,2] | D.[0,) |
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函数的值域是( )A.[-1,1] | B.(-1,1] | C.[-1,1) | D.(-1,1) |
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函数的定义域为 . |
已知函数在区间上的值域为 (1)求的值; (2)若关于的函数在区间上为单调函数,求实数的取值范围. |
如果函数y=b与函数的图象恰好有三个交点,则b= . |
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