已知函数f（x）=1a-1x（a＞0），若f（x）的定义域和值域都是[12，2]，求实数a的值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0），若f（x）的定义域和值域都是[

1

2

，2]，求实数a的值．

答案

设

1

2

≤x₁＜x₂≤2，则x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（

1

a

-

1

x1

）-（

1

a

-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0，f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在[

1

2

，2]上是单调递增函数．
∵f（x）的定义域、值域都是[

1

2

，2]，
又f（x）在[

1

2

，2]上是单调增函数，
∴

f( 1 2 )= 1 2 f(2)=2

，即

1 a -2= 1 2 1 a - 1 2 =2

．
∴a=

2

5

．