解:(1)令x=y=1,∴f(1)=2f(1),∴f(1)=0; (2)任取,则,由题意,, 又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),所以f(xy)-f(y)=f(x), ∴,∴, ∴函数f(x)在其定义域内为增函数,由(1)和f(1)=0,所以,1为方程f(x)=0的一个实根; 若还存在一个x0,且x0>0,使得, 因为函数f(x)在其定义域内为增函数,必有,故方程f(x)=0有且仅有一个实根; (3)由(2)知函数f(x)在其定义域内为增函数, 当x∈[1,+∞)时,不等式恒成立, 即恒成立, 即,即在x∈[1,+∞)时恒成立, ∵, ∴a>-2。 |