定义在（0，+∞）上函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若不等式f(x2+y2)≤f(xy)+f(a)对任意x，y∈（0

题型：填空题难度：简单来源：温州模拟

定义在（0，+∞）上函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若不等式f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)对任意x，y∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是______．

答案

设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（

x

y

），
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＜0（x＞1时，f（x）＜0）
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∵f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)
∴f（

x2+y2

）≤f（a

xy

）
即

x2+y2

≥a

xy

x2+y2

≥

2xy

≥a

xy

∴a≤

2

故答案为：0＜a≤

2