已知:f(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,求f(x)的解析式.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知:f(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,求f(x)的解析式. |
答案
∵对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,且f(0)=1, ∴不妨令x=0, 则有f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y(y-1)=y2-y+1 再令-y=x得函数解析式为:f(x)=x2+x+1. |
举一反三
若函数f(x)=,则f(f(0))=______. |
函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2); ③若f:A→B为单函数,则对于任意b∈B,它至多有一个原象; ④函数f(x)在某区间上具有单调性,则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是______.(写出所有真命题的编号) |
定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1. (1)试求f(0)的值; (2)判断f(x)的单调性并证明你的结论; (3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)-f(k-2t2)<0恒成立,求k的取值范围. |
设f(x)=则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1,2)∪(3,+∞) | B.(,+∞) | C.(1,2)∪(,+∞) | D.(1,2) |
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