定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(xy)=f(x)f(y) (x,y∈R),且当x≠0时,f(x)≠0.(1)求证:f(
题型:解答题难度:困难来源:广东省月考题
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(xy)=f(x)f(y) (x,y∈R),且当x≠0时,f(x)≠0. (1)求证:f(0)=0 (2)证明:f(x)是偶函数.并求f(x)的表达式 (3)若f(x)=alnx有两个不同实数解,求a的取值范围. |
答案
解:(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,令x=y=0, ∴f(0)=2f(0) ∴f(0)=0; (2)令x=y=1代入f(xy)=f(x)f(y) ∴f(1)=f(1)2, ∵当x≠0时,f(x)≠0, ∴f(1)=1, 令y=x代入f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(xy)=f(x)f(y) (x,y∈R), f(2x)=2f(x)+2x2,f(2x)=f(2)f(x), ∴f(2)f(x)=2f(x)+2x2, ∵f(2)=2f(1)+2=4, ∴f(x)=x2,f(﹣x)=f(x) ∴f(x)为偶函数; (3)∵f(x)=alnx有两个不同实数解, ∴令h(x)=f(x)﹣alnx=x2﹣xlnx, ∴h"(x)=2x﹣,令h"(x)=0,解得x=±, 当﹣<x<时,h"(x)<0,f(x)单调减函数; 当x≥或x≤﹣时,h"(x)>0,f(x)单调增函数; 如下图:要求h(x)与x轴有两个交点,可得h(﹣)=0, ∴a=
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举一反三
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