设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，．（1）求f（2）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）

题型：解答题难度：一般来源：四川省月考题

设f（x）的定义域（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，．
（1）求f（2）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式，其中p＞﹣1．

答案

解：（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
令 ，则
，
∴f（2）=1
（2）设0＜x₁＜x₂，则
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数
（3）∵f（2）=1得2=f（2）+f（2）=f（4）
又可化为：

由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，原不等式可化为：

解之得：2﹣2≤x≤2+2．