已知A、B、C是直线l上的三点,向量OA,OB,OC满足OA=[f(x)+2f′(1)x]OB-lnx•OC,则函数y=f(x)的表达式为______.
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已知A、B、C是直线l上的三点,向量OA,OB,OC满足OA=[f(x)+2f′(1)x]OB-lnx•OC,则函数y=f(x)的表达式为______.
题型:填空题
难度:简单
来源:不详
已知A、B、C是直线l上的三点,向量
OA
,
OB
,
OC
满足
OA
=[f(x)+2f′(1)x]
OB
-lnx•
OC
,则函数y=f(x)的表达式为______.
答案
∵A、B、C三点共线,且
OA
=[f(x)+2f′(1)x]
OB
-lnx•
OC
,
∴f(x)+2f′(1)x-lnx=1,两边求导数可得:f′(x)+2f′(1)-
1
x
=0,
把x=1代入可得f′(1)+2f′(1)-1=0,解得f′(1)=
1
3
,
故f(x)+
2
3
x-lnx=1,即
f(x)=lnx-
2x
3
+1
故答案为:
f(x)=lnx-
2x
3
+1
举一反三
已知当x>4时,f(x)=2
x-1
,且f(4-x)=f(4+x)恒成立,则当x<4时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=x
2
-3x+1,则f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知A,B两地相距200km,一只船从A地逆流行驶到B地,水流速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h,(8<v≤20),若船每小时的燃料费与在静水中的速度的平方成正比,当v=12km/h时,每小时燃料费为720元.
(1)设船每小时的燃料费为L,求L与v的关系式;
(2)为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c,(a,b,c∈R)满足:对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有
f(x)≤
1
8
(x+2
)
2
成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若f(-2)=0,求f(x)的表达式.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在R
+
上的函数f(x)有
2f(x)+f(
1
x
)=2x+
1
x
+3
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数
g(x)=
f
2
(x)-2x
(x>0)
,直线
y=
2
n-x
(n∈N
*
)分别与函数y=g(x),y=g
-1
(x)交于A
n
、B
n
两点(n∈N
*
).设a
n
=|A
n
B
n
|,S
n
为数列{a
n
}的前n项和.
①求a
n
,并证明
S
2n-1
=
S
2n
-
2
S
n
n
+
1
n
2
(n≥2)
;
②求证:当n≥2时,
S
n
2
>2(
S
2
2
+
S
3
3
+…+
S
n
n
)
.
题型:解答题
难度:一般
|
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