已知A、B、C是直线l上的三点，向量OA，OB，OC满足OA=[f(x)+2f′(1)x]OB-lnx•OC，则函数y=f（x）的表达式为______．

题型：填空题难度：简单来源：不详

已知A、B、C是直线l上的三点，向量

，

满足

=[f(x)+2f′(1)x]

-lnx•

，则函数y=f（x）的表达式为______．

答案

∵A、B、C三点共线，且

=[f(x)+2f′(1)x]

-lnx•

，
∴f（x）+2f′（1）x-lnx=1，两边求导数可得：f′（x）+2f′（1）-

=0，
把x=1代入可得f′（1）+2f′（1）-1=0，解得f′（1）=

，
故f（x）+

x-lnx=1，即f(x)=lnx-

+1
故答案为：f(x)=lnx-

举一反三

已知当x＞4时，f（x）=2^x-1，且f（4-x）=f（4+x）恒成立，则当x＜4时，f（x）=______．

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f（x）是定义域为R的奇函数，当x＜0时，f（x）=x²-3x+1，则f（x）=______．

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已知A，B两地相距200km，一只船从A地逆流行驶到B地，水流速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h，（8＜v≤20），若船每小时的燃料费与在静水中的速度的平方成正比，当v=12km/h时，每小时燃料费为720元．
（1）设船每小时的燃料费为L，求L与v的关系式；
（2）为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？

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已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f(x)≤

(x+2)2成立．
（1）证明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，求f（x）的表达式．

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已知定义在R⁺上的函数f（x）有2f(x)+f(

)=2x+

+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g(x)=

f2(x)-2x

(x＞0)，直线y=

n-x（n∈N^*）分别与函数y=g（x），y=g^-1（x）交于A_n、B_n两点（n∈N^*）．设a_n=|A_nB_n|，S_n为数列{a_n}的前n项和．
①求a_n，并证明

2n-1

2Sn

(n≥2)；
②求证：当n≥2时，Sn2＞2(

+…+

)．

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