已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．（2）求f（x）的解析式．（3）已知

题型：解答题难度：困难来源：安徽省期中题

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）已知a∈R，设P：当时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩C_RB（R为全集）．

答案

解：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1）
∴f（0）=﹣2
（2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=﹣2
∴f（x）=x²+x﹣2
（3）不等式f（x）+3＜2x+a即x²+x﹣2+3＜2x+a
也就是x²﹣x+1＜a．
由于当时，，
又x²﹣x+1=恒成立，
故A={a|a≥1}，g（x）=x²+x﹣2﹣ax=x²+（1﹣a）x﹣2 对称轴x=，
又g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，
故有，
∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，C_RB={a|﹣3＜a＜5}
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}．