(1)对参数a进行讨论,利用奇偶函数的定义,即可得出结论; (2)当时,,然后转化为二次函数轴动区间定的最值问题来研究即可. (3)利用图像法,把方程根的个数转化为两个函数图像交点的个数来研究. 当,若时,,方程可化为即. 令,在同一直角坐标系中作出函数,在时的图像从图像确定函数与的图像在第四象限有两个不同交点,从而证明方程有两个不同的正数解.解:(I)时,是奇函数;……(1分) 时,既不是奇函数也不是偶函数.……(2分) (II)当时,,函数图像的对称轴为直线.(3分) 当,即时,函数在上是增函数,所以; 当,即时,函数在上是减函数,在上是增函数, 所以;……(5分) 当,即时,函数在上是减函数, 所以.……(6分) 综上, .……(7分) (III)证法一: 若,则时,,方程可化为, 即.……(8分) 令,,在同一直角坐标系中作出函数 在时的图像…(9分)
因为,,所以,即当时 函数图像上的点在函数图像点的上方.……(11分) 所以函数与的图像在第一象限有两个不同交点. 即方程有两个不同的正数解.…………(12分) 证法二: 若,则时,,方程可化为, 即.…………(8分) 令,在同一直角坐标系中作出函数,在时的图像.(9分) 因为,,所以, 即当时,函数图像上的点在函数图像点的上方.…………(11分) 所以函数与的图像在第四象限有两个不同交点. 所以方程有两个不同的正数解.…………(12分) |