已知函数f(x)队任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,.(1)求证:f(x)为减函数;(2)求f(x)在[﹣3,3]
题型:解答题难度:一般来源:江苏同步题
已知函数f(x)队任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0, . (1)求证:f(x)为减函数; (2)求f(x)在[﹣3,3]上的最大值和最小值. |
答案
解:(1)设在R上任意取两个数m,n且m>n 则f(m)﹣f(n)=f(m﹣n) ∵m>n∴m﹣n>0 而x>0时,f(x)<0则f(m﹣n)<0 即f(m)<f(n) ∴f(x)为减函数; (2)由(1)可知f(x)max=f(﹣3),f(x)min=f(3). ∵f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0 ∴f(0)=0 令y=﹣x得f(x)+f(﹣x)=f(0)=0 即f(﹣x)=﹣f(x) ∴f(x)是奇函数 而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=﹣2,则f(﹣3)=2 ∴f(x)max=f(﹣3)=2,f(x)min=f(3)=﹣2. |
举一反三
若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上是增函数,则使得f(x)<f(2)的x取值范围是 |
[ ] |
A.(﹣∞,2) B.(2,+∞,) C.(﹣2,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) |
已知偶函数y=f(x)对任意实数x都有f(x+1)=﹣f(x),且在[0,1]上单调递减,则 |
[ ] |
A. < <![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818091716-40976.png) B. < <![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818091716-87726.png) C. < <![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818091717-21240.png) D. < <![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818091718-74657.png) |
对a,b∈R,记max{a,b}= ,函数f(x)=max{|x+1|,|x﹣2|}(x∈R)的最小值是 |
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A.0 B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818091714-70744.png) C.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818091714-97429.png) D.3 |
函数y= 的单调递增区间是( ) |
函数y= 的单调递增区间是( )。 |
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