对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*
题型:解答题难度:一般来源:顺义区一模
对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k. (Ⅰ)证明:f(3k)=3f(k); (Ⅱ)求f(3k-1)(k∈N*)的值; (Ⅲ)是否存在p个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的p值,若不存在,请说明理由. |
答案
(Ⅰ)证明:∵对k∈N*,f(f(k))=3k,∴f[f(f(k))]=f(3k)①, 由已知f(f(k))=3k,∴f[f(f(k))]=3f(k)②, 由①、②得f(3k)=3f(k); (Ⅱ)若f(1)=1,由已知f(f(k))=3k得f(1)=3,矛盾; 设f(1)=a>1,∴f(f(1))=f(a)=3,③ 由f(k)严格递增,即1<a⇒f(1)<f(a)=3.,∴,∴f(1)=2, 由③有f(f(1))=f(a)=3, 故f(f(1))=f(2)=3, ∴f(1)=2,f(2)=3,f(3)=3f(1)=6,f(6)=f(3•2)=3f(2)=9,f(9)=3f(3)=18,f(18)=3f(6)=27,f(27)=3f(9)=54,f(54)=3f(18)=81,… 依此类推归纳猜出:f(3k-1)=2×3k-1(k∈N*). 下面用数学归纳法证明: (1)当k=1时,显然成立; (2)假设当k=l(l≥1)时成立,即f(3l-1)=2×3l-1, 那么当k=l+1时,f(3l)=f(3×3l-1)=3f(3l-1)=3×2×3l-1=2•3l.猜想成立, 由(1)、(2)所证可知,对k∈N*f(3k-1)=2×3k-1成立. (Ⅲ)存在p=3k-1+1,当p个连续自然数从3k-1→2×3k-1时, 函数值正好也是p个连续自然数从f(3k-1)=2×3k-1→f(2×3k-1)=3k. |
举一反三
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4).当x≥2时,f(x)单调递增,如果x1+x2>4,且(x1-2)(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)的值为( ) |
M是具有以下性质的函数f(x)的全体:对于任意s,t>0,都有f(s)>0,f(t)>0,且f(s)+f(t)<f(s+t). (I)试判断函数f1(x)=log2(x+1),f2(x)=2x-1是否属于M? (II)证明:对于任意的x>0,x+m>0(m∈R且m≠0)都有m[f(x+m)-f(x)]>0; (III)证明:对于任意给定的正数s>1,存在正数t,当0<x≤t时,f(x)<s. |
已知向量=(x2,x+1),=(1-x,t),若函数f(x)=•在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围. |
设a≥0,函数f(x)=[x2+(a-3)x-2a+3]ex,g(x)=2-a-x-. ( I)当a≥1时,求f(x)的最小值; ( II)假设存在x1,x2∈(0,+∞),使得|f(x1)-g(x2)|<1成立,求a的取值范围. |
已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,>0,且f(-2)=0,则不等式>0的解集是( )A.(-2,0)∪(0,2) | B.(-∞,-2)∪(2,+∞) | C.(-2,0)∪(2,+∞) | D.(-∞,-2)∪(0,2) |
|
最新试题
热门考点