已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a•b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.
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已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a•b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:湖北
已知向量
a
=(x
2
,x+1),
b
=(1-x,t),若函数f(x)=
a
•
b
在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.
答案
解法1:依定义f(x)=x
2
(1-x)+t(x+1)=-x
3
+x
2
+tx+t,则f′(x)=-3x
2
+2x+t.
若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f"(x)≥0恒成立.
∴f′(x)≥0⇔t≥3x
2
-2x,在区间(-1,1)上恒成立,
考虑函数g(x)=3x
2
-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=
1
3
,开口向上的抛物线,
故要使t≥3x
2
-2x在区间(-1,1)上恒成立⇔t≥g(-1),即t≥5.
而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数;
故t的取值范围是t≥5.
举一反三
设a≥0,函数f(x)=[x
2
+(a-3)x-2a+3]e
x
,
g(x)=2-a-x-
4
x+1
.
( I)当a≥1时,求f(x)的最小值;
( II)假设存在x
1
,x
2
∈(0,+∞),使得|f(x
1
)-g(x
2
)|<1成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,
xf′(x)-f(x)
x
2
>0
,且f(-2)=0,则不等式
f(x)
x
>0
的解集是( )
A.(-2,0)∪(0,2)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.(-2,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(0,2)
题型:单选题
难度:简单
|
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下列函数为偶函数的是( )
A.y=sinx
B.y=x
3
C.y=e
x
D.
y=ln
x
2
+1
题型:单选题
难度:一般
|
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定义:对函数y=f(x),对给定的正整数k,若在其定义域内存在实数x
0
,使得f(x
0
+k)=f(x
0
)+f(k),则称函数f(x)为“k性质函数”.
(1)若函数f(x)=2
x
为“1性质函数”,求x
0
;
(2)判断函数
f(x)=
1
x
是否为“k性质函数”?说明理由;
(3)若函数
f(x)=lg
a
x
2
+1
为“2性质函数”,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若不等式x
2
+2xy≤a(6x
2
+y
2
)对任意正实数x,y恒成立,则实数a的最小值为( )
A.2
B.1
C.
1
3
D.
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
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