若不等式x2+2xy≤a(6x2+y2)对任意正实数x,y恒成立,则实数a的最小值为( )A.2B.1C.13D.12
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若不等式x2+2xy≤a(6x2+y2)对任意正实数x,y恒成立,则实数a的最小值为( )A.2B.1C.13D.12
题型:单选题
难度:一般
来源:不详
若不等式x
2
+2xy≤a(6x
2
+y
2
)对任意正实数x,y恒成立,则实数a的最小值为( )
A.2
B.1
C.
1
3
D.
1
2
答案
不等式x
2
+2xy≤a(6x
2
+y
2
),可化为a≥
x
2
+2xy
6
x
2
+
y
2
=
1+2•
y
x
6+(
y
x
)
2
令t=
y
x
,则t>0,a≥
1+2t
6+
t
2
令f(t)=
1+2t
6+
t
2
,则f′(t)=
-2(t+3)(t-2)
(6+
t
2
)
2
∴t∈(0,2)时,f′(t)>0,函数单调递增,t∈(2,+∞)时,f′(t)<0,函数单调递减
∴t=2时,函数取得最大值
1
2
∴a≥
1
2
∴实数a的最小值为
1
2
故选D.
举一反三
已知函数
f(x)=
1+lg(x-1),x>1
g(x),x<1
的图象关于点P对称,且函数y=f(x+1)-1为奇函数,则下列结论:
(1)点P的坐标为(1,1);
(2)当x∈(-∞,0)时,g(x)>0恒成立;
(3)关于x的方程f(x)=a,a∈R有且只有两个实根.
其中正确结论的题号为( )
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(1)(3)
D.(1)(2)(3)
题型:单选题
难度:简单
|
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设
f(x)=
2
x
2
x+1
,g(x)=ax+5-2a(a>0)
,若对于任意x
1
∈[0,1],总存在x
0
∈[0,1],使得g(x
0
)=f(x
1
)成立,则a的取值范围是( )
A.
[
5
2
,4]
B.[4,+∞)
C.
(0,
5
2
]
D.
[
5
2
,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=e
x
(e为自然对数的底数),则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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对于定义在区间D上的函数f(x),若任给x
0
∈D,均有f(x
0
)∈D,则称函数f(x)在区间D上封闭.
(1)试判断f(x)=x-1在区间[-2.1]上是否封闭,并说明理由;
(1)若函数g(x)=
3x+a
x+1
在区间[3,10]上封闭,求实数a的取值范围;
(1)若函数h(x)=x
3
-3x在区间[a,b[(a,b∈Z)上封闭,求a,b的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)的定义域为R,若存在与x无关的正常数M,使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为有界泛函.在函数①f(x)=-5x,②f(x)=sin
2
x,③
f(x)=(
1
2
)
x
,④f(x)=xcosx中,属于有界泛函的有______(填上所有正确的序号).
题型:填空题
难度:一般
|
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