∵函数y=f(x+1)-1为奇函数, ∴f(-x+1)-1=-[f(x+1)-1],即f(1+x)+f(1-x)=2, 可得y=f(x)的图象关于点P(1,1)对称,故(1)正确; ∵f(1+x)+f(1-x)=2,得f(x)=2-f(2-x) ∴当x<1时,f(x)=g(x)=2-[1+lg(1-x)]=1-lg(1-x) 因此当x∈(-∞,0)时,lg(1-x)>lg1=0,可得g(x)<1 所以g(x)>0不能恒成立,故(2)不正确; 由以上的分析可得:f(x)= | 1+lg(x-1),x>1 | 1-lg(1-x),x<1 |
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结合对数函数图象与性质可得:函数y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为增函数, 函数y=f(x)的图象以x=1为渐近线,且在渐近线的两侧y的取值都是(-∞,+∞) 关于x的方程f(x)=a,a∈R有且只有两个实根,故(3)正确. 综上所述,正确的选项是(1)、(3) 故选C |