已知椭圆方程为(),F(-c,0)和F(c,0)分别是椭圆的左 右焦点.①若P是椭圆上的动点,延长到M,使=,则M的轨迹是圆;②若P是椭圆上的动点,则;③以焦点
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已知椭圆方程为(),F(-c,0)和F(c,0)分别是椭圆的左 右焦点.①若P是椭圆上的动点,延长到M,使=,则M的轨迹是圆;②若P是椭圆上的动点,则;③以焦点
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆方程为
(
),F
(-c,0)和F
(c,0)分别是椭圆的左 右焦点.
①若P是椭圆上的动点,延长
到M,使
=
,则M的轨迹是圆;
②若P
是椭圆上的动点,则
;
③以焦点半径
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切;
④若
在椭圆
上,则过
的椭圆的切线方程是
;
⑤点P为椭圆上任意一点
,则椭圆的焦点角形的面积为
.
以上说法中,正确的有
答案
①③④
解析
试题分析:根据已知中椭圆方程为
(
),F
(-c,0)和F
(c,0)分别是椭圆的左、右焦点,
因此可知,当满足延长
到M,使
=
时,则点M的轨迹就是一个圆,故命题1正确
对于命题2,P
是椭圆上的动点,则
,不符合两点的距离公式,可以结合函数来得到端点值成立,因此为闭区间,所以错误。
命题3中,以焦点半径
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切;这是利用了两圆的位置关系来判定其结论,成立。
命题4中,点在椭圆上,结合导数的几何意义表示出斜率,那么可知其切线方程为
成立。
命题5中,焦点三角形的面积公式,结合定义和余弦定理可知结论为
,因此错误,故填写①③④
点评:对于椭圆中的定义和性质,以及其切线方程的求解,都可以借助于圆的思想来得到,找到切点,切线的斜率,结合点斜式方程来得到结论。属于中档题。
举一反三
(本小题满分13分)已知中心在坐标原点
O
,焦点在
轴上,长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线
平行于
,且与椭圆交于
A、B
两个不同点.
(ⅰ)若
为钝角,求直线
在
轴上的截距
m
的取值范围;
(ⅱ)求证直线
MA
、
MB
与
x
轴围成的三角形总是等腰三角形.
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是双曲线
的两个焦点,
在双曲线上且
,则
的面积为 ( )
A.
B.
C.
D.
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求下列各曲线的标准方程
(Ⅰ)实轴长为12,离心率为
,焦点在x轴上的椭圆;
(Ⅱ)抛物线的焦点是双曲线
的左顶点.
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已知椭圆
C
:
+
=1(
a
>
b
>0)的一个焦点是
F
(1,0),且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆
C
的方程;
(Ⅱ)设经过点
F
的直线交椭圆
C
于
M
,
N
两点,线段
MN
的垂直平分线交
y
轴于点
P
(0,
y
0
),求
y
0
的取值范围.
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从抛物线
上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积( )
A.5
B.10
C.20
D.
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