定义:对函数y=f(x),对给定的正整数k,若在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),则称函数f(x)为“k性质函数”.(1)若函数
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定义:对函数y=f(x),对给定的正整数k,若在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),则称函数f(x)为“k性质函数”.(1)若函数
题型:解答题
难度:一般
来源:长宁区二模
定义:对函数y=f(x),对给定的正整数k,若在其定义域内存在实数x
0
,使得f(x
0
+k)=f(x
0
)+f(k),则称函数f(x)为“k性质函数”.
(1)若函数f(x)=2
x
为“1性质函数”,求x
0
;
(2)判断函数
f(x)=
1
x
是否为“k性质函数”?说明理由;
(3)若函数
f(x)=lg
a
x
2
+1
为“2性质函数”,求实数a的取值范围.
答案
(本题满分(16分),第(1)小题(4分),第2小题(6分),第3小题6分)
(1)由f(x
0
+1)=f(x
0
)+f(1)得
2
x
0
+1
=
2
x
0
+2
,…(2分)
∴
2
x
0
=2
,∴x
0
=1. …(4分)
(2)若存在x
0
满足条件,
则
1
x
0
+k
=
1
x
0
+
1
k
即
x
0
2
+k
x
0
+
k
2
=0
,…(7分)
∵△=k
2
-4k
2
=-3k
2
<0,∴方程无实数根,与假设矛盾.
∴
f(x)=
1
x
不能为“k性质函数”. …(10分)
(3)由条件得:
lg
a
(
x
0
+2)
2
+1
=lg
a
x
20
+1
+lg
a
5
,…(11分)
即
a
(
x
20
+2)
2
+1
=
a
2
5(
x
20
+1)
(a>0),
化简得
(a-5)
x
20
+4a
x
0
+5a-5=0
,….(13分)
当a=5时,x
0
=-1; …(14分)
当a≠5时,由△≥0,
16a
2
-20(a-5)(a-1)≥0即a
2
-30a+25≤0,
∴
15-10
2
≤a≤15+10
2
.
综上,
a∈[15-10
2
,15+10
2
]
…(16分)
举一反三
若不等式x
2
+2xy≤a(6x
2
+y
2
)对任意正实数x,y恒成立,则实数a的最小值为( )
A.2
B.1
C.
1
3
D.
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
1+lg(x-1),x>1
g(x),x<1
的图象关于点P对称,且函数y=f(x+1)-1为奇函数,则下列结论:
(1)点P的坐标为(1,1);
(2)当x∈(-∞,0)时,g(x)>0恒成立;
(3)关于x的方程f(x)=a,a∈R有且只有两个实根.
其中正确结论的题号为( )
A.(1)(2)
B.(2)(3)
C.(1)(3)
D.(1)(2)(3)
题型:单选题
难度:简单
|
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设
f(x)=
2
x
2
x+1
,g(x)=ax+5-2a(a>0)
,若对于任意x
1
∈[0,1],总存在x
0
∈[0,1],使得g(x
0
)=f(x
1
)成立,则a的取值范围是( )
A.
[
5
2
,4]
B.[4,+∞)
C.
(0,
5
2
]
D.
[
5
2
,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=e
x
(e为自然对数的底数),则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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对于定义在区间D上的函数f(x),若任给x
0
∈D,均有f(x
0
)∈D,则称函数f(x)在区间D上封闭.
(1)试判断f(x)=x-1在区间[-2.1]上是否封闭,并说明理由;
(1)若函数g(x)=
3x+a
x+1
在区间[3,10]上封闭,求实数a的取值范围;
(1)若函数h(x)=x
3
-3x在区间[a,b[(a,b∈Z)上封闭,求a,b的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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