已知函数f（x）=x-33x+1，设f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]（n∈N*），若集合M={x∈R|f2009（x）=2x+3}，则集合

题型：单选题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

x- 3

3 x+1

，设f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N^*），若集合M={x∈R|f₂₀₀₉（x）=2x+

3

}，则集合M中的元素个数为（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．无穷多个

答案

依题意得f₁（x）=

x- 3

3 x+1

，f₂（x）=

-x- 3

3 x-1

，f₃（x）=x，f₄（x）=f₁（x），，
即函数列{f_n（x）}是以3为周期的函数列，注意到2009=3×669+2，因此f₂₀₀₉（x）=f₂（x）=

-x- 3

3 x-1

．
由

-x- 3

3 x-1

=2x+

3

得2x（

3

x+1）=0，又

3

x+1≠0，因此x=0，集合M中的元素个数是1，
故选B．