(12分)(1)设x、y、zR,且x+y+z=1,求证x2+y2+z2≥;(2)设二次函数f (x)=ax2+bx+c(a>0),方程f (x)-x=0有两个实
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(12分)(1)设x、y、zR,且x+y+z=1,求证x2+y2+z2≥;(2)设二次函数f (x)=ax2+bx+c(a>0),方程f (x)-x=0有两个实
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
(12分)(1)设
x
、
y
、
z
R
,且
x
+
y
+
z
=1,求证
x
2
+
y
2
+
z
2
≥
;
(2)设二次函数
f
(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
>0),方程
f
(
x
)-
x
=0有两个实根
x
1
,
x
2,
且满足:0<
x
1
<
x
2
<
,若
x
(0,
x
1
)。
求证:
x
<
f
(
x
)<
x
1
答案
见解析。
解析
本试题主要是考查了均值不等式的运用以及二次函数中根与系数的关系的综合运用。
(1)
x
+
y
+
z
=1,∴1=(
x
+
y
+
z
)
2
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+2
xy
+2
xz
+2
yz
≤3(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
从而得证。
(2)令F(
x
)=
f
(
x
)-
x
,
x
1
,
x
2
是
f
(
x
)-
x
=0的根,
∴F(
x
)=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)
∵0<
x
<
x
1
<
x
2
<
∴
x
-
x
1
<0,
x
-
x
2
<0
a
>0
∴F(
x
)>0 即
x
<
f
(
x
)
x
1
-
f
(
x
)=
x
1
-[
x
+F(
x
)]=
x
1
-
x
-
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)=(
x
1
-
x
)[1+
a
(
x
-
x
2
)]
∵0<
x
<
x
1
<
x
2
<
∴
x
1
-
x
>0 1+
a
(
x
-
x
2
)=1+
a x
-
ax
2
>1-
ax
2
>0
∴
x
1
-
f
(
x
)>0 ∴
f
(
x
)<
x
1
综上可知成立。
解:(1)∵
x
+
y
+
z
=1,∴1=(
x
+
y
+
z
)
2
=
x
2
+
y
2
+
z
2
+2
xy
+2
xz
+2
yz
≤3(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
∴
x
2
+
y
2
+
z
2
≥
(2)令F(
x
)=
f
(
x
)-
x
,
x
1
,
x
2
是
f
(
x
)-
x
=0的根,
∴F(
x
)=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)
∵0<
x
<
x
1
<
x
2
<
∴
x
-
x
1
<0,
x
-
x
2
<0
a
>0
∴F(
x
)>0 即
x
<
f
(
x
)
另一方面:
x
1
-
f
(
x
)=
x
1
-[
x
+F(
x
)]=
x
1
-
x
-
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)=(
x
1
-
x
)[1+
a
(
x
-
x
2
)]
∵0<
x
<
x
1
<
x
2
<
∴
x
1
-
x
>0 1+
a
(
x
-
x
2
)=1+
a x
-
ax
2
>1-
ax
2
>0
∴
x
1
-
f
(
x
)>0 ∴
f
(
x
)<
x
1
综上可得:
x
<
f
(
x
)<
x
1
举一反三
设f(x)=
,则f(
)+f(
)+f(2)+f(3)的值为 ( )
A.
B.-
C.1
D.0
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)=ax
2
-(2+a)x-3在区间[
,1]是单调函数,则a的取值范围是 ( )
A.0<a≤2
B.a≤2
C.a≥-2
D.a≥2
题型:单选题
难度:简单
|
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(12分)二次函数f(x)与g(x)=
x
2
-1的图像开口大小相同,开口方向也相同,y=f(x)的对称轴方程为x=1,图像过点(2,
)点
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在大于1的实数m,使y=f(x)在[1, m]上的值域是[1, m]?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知:
,当
时,
;
时,
(1)求
的解析式.
(2)c为何值时,
的解集为R.
题型:解答题
难度:简单
|
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实系数方程
的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求:
(1)、
的值域; (2)、
的值域; (3)、
的值域.
题型:解答题
难度:简单
|
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