试题分析:(1) 先根据零点存在性定理判断在在内存在零点,在利用导数说明函数在上是单调递增的,从而说明在区间内存在唯一的零点;(2)此问可用两种解法:第一种,当时,,根据题意判断出在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当;(ⅱ)当;(ⅲ)当,综上可知,;第二种,用表示中的较大者,直接代入计算即可;(3)先设出零点,然后根据在上是递增的得出结论. 试题解析:(1),时, ∵,∴在内存在零点. 又当时, ,∴ 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. (2)当时, ,对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:(ⅰ)当,即时, ,与题设矛盾 (ⅱ)当,即时, 恒成立 (ⅲ)当,即时, 恒成立. 综上可知, 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用表示中的较大者.当,即时, 恒成立 . (3)证法一 设是在内的唯一零点 ,, 于是有 又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列. 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内,故, 所以,数列是递增数列. |