试题分析:(1)由分析可知 的解析式就是取 中较小的一个。所以 等价于 ,将此不等式转化成指数函数不等式 ,根据指数的运算法则 ,应将 除过去用公式,再将不等式左边的2也化为以3为底的对数,依据的公式是 。再根据指数函数的单调性解同底的对数不等式。最后根据绝对值不等式的性质放缩不等式,即可求解。(2)根据(1)中所证已知 时, ,图形关于 对称,且在 两侧单调性相反。若 则 为 的中点。即可求得函数 在区间 上的单调递增区间的长度。当 时,当 时 ,当 时 ,当 时解 图象交点的横坐标,根据图像得 的解析式。再根据图像得增区间,再求增区间的长度。 试题解析:(1)由 的定义可知, (对所有实数 )等价于 (对所有实数 )这又等价于 ,即 对所有实数 均成立. (*) 由于 的最大值为 , 故(*)等价于 ,即 ,所以当 时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190820/20190820061346-34714.png) (2)分两种情形讨论 (i)当 时,由(1)知 (对所有实数 ) 则由 及 易知 , 再由 的单调性可知, 函数 在区间 上的单调增区间的长度 为 (参见示意图1)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190820/20190820061347-24597.png) (ii) 时,不妨设 ,则 ,于是 当 时,有 ,从而 ; 当 时,有![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190820/20190820061348-20623.png) 从而 ; 当 时, ,及 ,由方程![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190820/20190820061348-77936.png) 解得 图象交点的横坐标为
⑴ 显然 ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190820/20190820061348-80268.png) 这表明 在 与 之间。由⑴易知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190820/20190820061348-44211.png) 综上可知,在区间 上, (参见示意图2) 故由函数 及 的单调性可知, 在区间 上的单调增区间的长度之和为 ,由于 ,即 ,得
⑵ 故由⑴、⑵得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190820/20190820061350-16296.png) 综合(i)(ii)可知, 在区间 上的单调增区间的长度和为 。 |